Soustraire des nombres entiers au CM1
Au CM1, savoir soustraire des nombres entiers signifie comprendre le sens de la différence et maîtriser la soustraction posée CM1. On utilise cette opération lorsqu’on cherche ce qu’il reste, ce qui manque, un écart entre deux quantités ou une diminution. La difficulté principale vient des échanges entre les colonnes, surtout quand un zéro se trouve au milieu du nombre. Pour réussir une soustraction posée , il faut aligner correctement les chiffres selon leur rang, commencer par les unités et effectuer les échanges étape par étape. Cette leçon présente la méthode, des schémas explicatifs, des exemples sans échange et avec échanges, le cas des zéros, des exercices corrigés et les erreurs à éviter.
Qu’est-ce qu’une soustraction posée ?
Une soustraction permet de retirer une quantité d’une autre, de calculer un écart ou de trouver une quantité manquante. Le résultat s’appelle la différence. Dans 845 − 312 = 533, 533 est la différence. Le signe − se lit « moins ».
Dans un problème, certains mots peuvent aider : « reste », « différence », « de moins », « combien manque-t-il ? », « écart ». Mais il ne faut pas seulement chercher un mot : il faut comprendre la situation. Si on enlève, compare ou cherche un complément, la soustraction est souvent adaptée.
Schéma : aligner les chiffres avant de soustraire
Comme pour l’addition, on aligne les chiffres de même rang. Les unités doivent être sous les unités, les dizaines sous les dizaines et ainsi de suite. On écrit généralement le plus grand nombre au-dessus du plus petit pour rester dans les nombres entiers positifs étudiés au CM1.
Rang : DM | UM | C | D | U 52 403 : 5 | 2 | 4 | 0 | 3 18 756 : 1 | 8 | 7 | 5 | 6
Comment poser une soustraction au CM1 ?
- Écris les nombres l’un sous l’autre et aligne les rangs.
- Place le signe − devant le deuxième nombre.
- Trace un trait.
- Commence par les unités, à droite.
- Si le chiffre du haut est assez grand, soustrais directement.
- S’il est trop petit, effectue un échange avec le rang situé à gauche.
- Continue colonne par colonne jusqu’au rang le plus élevé.
Exemple 1 : soustraction posée sans échange
Calculons 68 754 − 23 421. Dans chaque colonne, le chiffre du haut est supérieur ou égal à celui du bas. Aucun échange n’est nécessaire.
68 754 − 23 421 ───────── 45 333
Unités : 4 − 1 = 3. Dizaines : 5 − 2 = 3. Centaines : 7 − 4 = 3. Milliers : 8 − 3 = 5. Dizaines de milliers : 6 − 2 = 4. La différence est 45 333.
Comprendre l’échange dans une soustraction
Lorsque le chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on ne peut pas soustraire directement dans cette colonne. On échange alors une unité du rang situé à gauche contre 10 unités du rang courant. Par exemple, une dizaine vaut 10 unités, une centaine vaut 10 dizaines et un millier vaut 10 centaines. La valeur totale du nombre ne change pas : on l’écrit simplement autrement pour pouvoir calculer.
Exemple 2 : soustraction avec échanges et un zéro
Calculons 52 403 − 18 756. Ce calcul est intéressant car la colonne des dizaines contient 0. Dans les unités, on ne peut pas faire 3 − 6. On voudrait prendre une dizaine, mais il y en a 0. Il faut donc d’abord prendre 1 centaine dans la colonne des centaines : 4 centaines deviennent 3 centaines et 0 dizaine devient 10 dizaines. On prend ensuite 1 de ces 10 dizaines pour les unités : il reste 9 dizaines et les 3 unités deviennent 13 unités.
| Colonne | Après échange | Calcul | Chiffre écrit |
|---|---|---|---|
| Unités | 13 unités | 13 − 6 | 7 |
| Dizaines | 9 dizaines | 9 − 5 | 4 |
| Centaines | 3 centaines, puis 13 après échange | 13 − 7 | 6 |
| Milliers | 1 millier, puis 11 après échange | 11 − 8 | 3 |
| Dizaines de milliers | 4 | 4 − 1 | 3 |
52 403 − 18 756 ───────── 33 647
La différence est donc 33 647. L’important est de ne pas dire simplement « j’emprunte une dizaine » lorsqu’il y a 0 dizaine disponible. On doit expliquer l’échange à travers la colonne des centaines.
Exemple 3 : soustraire lorsqu’il y a plusieurs zéros
Calculons 70 000 − 28 456. On commence par les unités : 0 − 6 est impossible. Les dizaines, centaines et milliers valent aussi 0. Il faut donc partir du 7 des dizaines de milliers. On transforme 1 dizaine de milliers en 10 milliers. Puis 1 millier devient 10 centaines, 1 centaine devient 10 dizaines et enfin 1 dizaine devient 10 unités. À chaque passage, le rang qui a donné une unité diminue de 1.
70 000 − 28 456 ───────── 41 544
Le résultat est 41 544. Ce type d’opération demande surtout de la méthode : on effectue les échanges dans l’ordre et on note les nouvelles valeurs au-dessus des colonnes.
Pourquoi commence-t-on par les unités ?
Un échange réalisé dans une colonne modifie la colonne située juste à gauche. En commençant par les unités, on sait exactement quelles valeurs restent disponibles dans les dizaines, puis dans les centaines. Si on commençait par la gauche, un échange effectué plus tard pourrait modifier un calcul déjà fait.
Comment vérifier une soustraction ?
La meilleure vérification utilise l’addition. Si 52 403 − 18 756 = 33 647, alors 33 647 + 18 756 doit redonner 52 403. C’est bien le cas. Cette vérification confirme que la différence est correcte.
On peut aussi estimer. 52 403 est proche de 52 000 et 18 756 de 19 000. 52 000 − 19 000 vaut environ 33 000. Le résultat exact 33 647 est donc cohérent. Une estimation permet de repérer un résultat beaucoup trop grand ou trop petit.
Les erreurs fréquentes dans une soustraction posée
- Mal aligner les chiffres : les unités doivent être sous les unités.
- Faire 8 − 3 quand on voit 3 − 8 : on ne retourne pas les chiffres ; on effectue un échange.
- Oublier de diminuer la colonne qui donne : si une centaine est échangée, le nombre de centaines diminue de 1.
- Ignorer un zéro : avec un zéro, il faut parfois effectuer plusieurs échanges successifs.
- Commencer par la gauche : la technique posée se calcule à partir des unités.
- Ne pas vérifier : l’addition de contrôle est très utile.
À retenir : la méthode de la soustraction posée
- J’aligne les chiffres de même rang.
- Je commence par les unités.
- Si le chiffre du haut est assez grand, je soustrais directement.
- S’il est trop petit, j’échange une unité du rang de gauche contre 10 unités du rang courant.
- Je note clairement les nouvelles valeurs après chaque échange.
- Je vérifie avec une addition et une estimation.
Je m’entraîne : 6 exercices progressifs
Exercice 1. Pose et calcule : 45 672 − 13 241.
Exercice 2. Pose et calcule : 86 205 − 24 703.
Exercice 3. Pose et calcule : 70 000 − 28 456.
Exercice 4. Calcule : 125 430 − 63 215.
Exercice 5. Complète : 50 000 − … = 24 750.
Exercice 6. Une salle possède 84 560 billets pour plusieurs représentations. 37 845 billets sont vendus. Combien reste-t-il de billets ?
Corrections expliquées
Exercice 1 : 45 672 − 13 241 = 32 431.
Exercice 2 : 86 205 − 24 703 = 61 502. La présence du 0 dans les dizaines demande de vérifier soigneusement les échanges.
Exercice 3 : 70 000 − 28 456 = 41 544.
Exercice 4 : 125 430 − 63 215 = 62 215.
Exercice 5 : le nombre manquant est 25 250, car 50 000 − 25 250 = 24 750.
Exercice 6 : 84 560 − 37 845 = 46 715. Il reste 46 715 billets.
Problème : chercher une quantité manquante
Une association veut atteindre 60 000 points. Elle a déjà obtenu 42 685 points. Combien lui manque-t-il ? On cherche le complément entre 42 685 et 60 000, donc on calcule 60 000 − 42 685 = 17 315. Il manque 17 315 points. La soustraction sert donc aussi à calculer une quantité manquante, pas seulement à enlever des objets.
Comparer deux nombres grâce à la soustraction
La soustraction permet aussi de mesurer un écart. Si une ville compte 54 320 habitants et une autre 47 865, la différence est 54 320 − 47 865 = 6 455. On peut dire que la première ville compte 6 455 habitants de plus. Dans ce type de situation, aucune quantité n’est retirée : on compare simplement deux valeurs.
FAQ : soustraction posée CM1
Pourquoi parle-t-on d’échange plutôt que d’emprunt ? Parce qu’on transforme une unité d’un rang en 10 unités du rang inférieur. La valeur du nombre reste la même ; il s’agit donc bien d’un échange de représentation.
Que faire si le chiffre du haut est 0 ? On regarde le rang de gauche. S’il vaut aussi 0, on continue jusqu’au premier rang non nul et on réalise les échanges successivement.
Le reste existe-t-il dans une soustraction ? Non. Le mot reste peut apparaître dans un problème, mais le résultat d’une soustraction s’appelle la différence.
Comment savoir si mon résultat est plausible ? Arrondis les deux nombres et estime la différence. Le résultat exact doit être proche de cette estimation.
Un contrôle rapide avant de terminer
Relis les deux nombres, vérifie leur alignement et regarde si chaque échange est noté. Ensuite, additionne la différence au nombre retiré : tu dois retrouver le nombre de départ. Enfin, vérifie l’ordre de grandeur. Ces trois contrôles permettent de repérer la plupart des erreurs de soustraction posée au CM1.
Télécharger la leçon en PDF
La fiche PDF permet de revoir la méthode sur papier et de s’entraîner avant une évaluation. Elle complète les exemples et les schémas de cet article.
Pour travailler la soustraction avec de grands nombres, revois d’abord la lecture et la décomposition des nombres jusqu’à 999 999, puis entraîne-toi avec les exercices de numération CM1.