Multiples et diviseurs CM2 : leçon + exercices corrigés

Les multiples et diviseurs au CM2 permettent de mieux comprendre les relations entre la multiplication et la division. Savoir reconnaître un multiple, chercher les diviseurs d’un nombre et utiliser les critères de divisibilité aide à calculer plus rapidement et à résoudre de nombreux problèmes. Dans cette leçon, tu vas apprendre à distinguer un multiple d’un diviseur, à trouver les multiples d’un nombre, à chercher tous ses diviseurs et à reconnaître facilement si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 9 ou 10. Des exemples simples et des exercices corrigés te permettront de vérifier chaque méthode. À la fin, tu pourras utiliser les multiples et diviseurs au CM2 pour organiser des groupes, partager des quantités sans reste et mieux maîtriser les tables de multiplication.

Reconnaître un multiple

Un nombre est un multiple d’un autre nombre lorsqu’on peut l’obtenir en multipliant ce nombre par un entier.

6 × 7 = 42

• 42 est un multiple de 6 ;
• 42 est aussi un multiple de 7 ;
• on peut dire que 42 appartient à la table de 6 et à la table de 7.

Comment trouver les multiples d’un nombre ? Il suffit de multiplier ce nombre successivement par 0, 1, 2, 3, 4, 5…

Exemple avec 8 :

8 × 0 = 0    8 × 1 = 8    8 × 2 = 16    8 × 3 = 24    8 × 4 = 32

Les premiers multiples de 8 sont donc : 0 ; 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48… Un nombre possède une infinité de multiples.

Reconnaître un diviseur

Un nombre est un diviseur d’un autre nombre lorsque la division tombe juste, c’est-à-dire lorsque le reste est égal à 0.

42 ÷ 6 = 7

La division est exacte. On peut donc dire que 6 est un diviseur de 42. De même, 7 est aussi un diviseur de 42, car 42 ÷ 7 = 6.

Pour chercher les diviseurs d’un nombre, on peut utiliser les tables de multiplication et chercher les paires de facteurs qui permettent d’obtenir ce nombre.

Comprendre le lien entre multiple et diviseur

Multiple et diviseur décrivent la même relation, mais dans deux sens différents.

Autre exemple : puisque 5 × 9 = 45, 45 est un multiple de 5 et de 9. On peut aussi dire que 5 et 9 divisent 45.

Méthode : trouver tous les diviseurs d’un nombre

Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, on cherche toutes les multiplications de deux nombres entiers qui donnent ce nombre.

Exemple : cherchons tous les diviseurs de 36.

Chaque facteur utilisé dans ces égalités est un diviseur de 36.

Les diviseurs de 36 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.

Astuce : lorsque les paires de facteurs commencent à se répéter dans l’autre sens, la recherche est terminée. Après 6 × 6, on retrouverait par exemple 9 × 4, puis 12 × 3 : ce sont les mêmes facteurs.

Les critères de divisibilité au CM2

Les critères de divisibilité permettent de savoir rapidement si une division sera exacte, sans avoir besoin de poser toute la division. Ils sont très utiles pour trouver des diviseurs.

Comment utiliser plusieurs critères ?

Prenons le nombre 180. Il se termine par 0 : il est donc divisible par 2, par 5 et par 10. La somme de ses chiffres vaut 1 + 8 + 0 = 9 : il est aussi divisible par 3 et par 9. Enfin, puisqu’il est divisible par 2 et par 3, il est également divisible par 6.

Prenons maintenant 124. Il est pair, donc divisible par 2. Ses deux derniers chiffres forment 24, qui est divisible par 4 : 124 est donc aussi divisible par 4.

À retenir

Erreurs fréquentes à éviter

Confondre multiple et diviseur

Dans l’égalité 6 × 7 = 42, 42 est un multiple de 6 et de 7. En revanche, 6 et 7 sont des diviseurs de 42.

Oublier 1 et le nombre lui-même

Pour un entier positif, 1 est toujours un diviseur. Le nombre lui-même est aussi un diviseur. Par exemple, parmi les diviseurs de 24, on trouve toujours 1 et 24.

Croire qu’un nombre n’a qu’un nombre limité de multiples

On peut toujours continuer à multiplier par des entiers plus grands. Les multiples d’un nombre sont donc en nombre infini.

Utiliser le critère de 6 de façon incomplète

Pour être divisible par 6, un nombre doit être à la fois divisible par 2 et divisible par 3. Une seule de ces deux conditions ne suffit pas.

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Exercices sur les multiples et diviseurs au CM2

1. Multiples : écris les cinq premiers multiples de 8 après 0.
2. Reconnaître un multiple : parmi 18 ; 24 ; 30 ; 35, quels nombres sont des multiples de 6 ?
3. Compléter : 9 × … = 63. Donc 63 est un multiple de … et de 9.
4. Diviseurs : parmi 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6, quels nombres divisent 24 sans reste ?
5. Tous les diviseurs : écris tous les diviseurs de 20.
6. Divisibilité par 2, 5 et 10 : parmi 125 ; 240 ; 318 ; 455, indique les nombres divisibles par 2, par 5 et par 10.
7. Divisibilité par 3 et 9 : le nombre 738 est-il divisible par 3 ? par 9 ? Justifie avec la somme de ses chiffres.
8. Divisibilité par 4 : 516 est-il divisible par 4 ? Explique en utilisant ses deux derniers chiffres.
9. Divisibilité par 6 : 246 est-il divisible par 6 ? Justifie.
10. Problème : 48 élèves doivent former des équipes de même taille, sans élève restant. Peut-on faire des équipes de 4 ? de 6 ? de 7 ? de 8 ? Justifie.

Correction des exercices

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un multiple au CM2 ?

Un multiple est un nombre obtenu en multipliant un entier par un autre entier. Par exemple, 24 est un multiple de 6 car 6 × 4 = 24.

Qu’est-ce qu’un diviseur ?

Un diviseur est un nombre qui permet d’effectuer une division exacte, sans reste. Par exemple, 5 est un diviseur de 35 car 35 ÷ 5 = 7.

Comment trouver les multiples d’un nombre ?

On multiplie le nombre par 0, 1, 2, 3, 4, 5 et ainsi de suite. Pour 7, on obtient 0, 7, 14, 21, 28, 35…

Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?

On cherche toutes les paires de facteurs dont le produit donne ce nombre. Pour 12 : 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4. Les diviseurs sont donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Comment savoir si un nombre est divisible par 6 ?

Il doit être divisible à la fois par 2 et par 3. Il doit donc être pair et la somme de ses chiffres doit être un multiple de 3.